Tính Thể Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi 3 Đường

  -  

Bài viết hướng dẫn phương thức áp dụng tích phân nhằm tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do cha con đường cong, đây là dạng toán thường xuyên gặp gỡ vào lịch trình Giải tích 12 cmùi hương 3: Ngulặng hàm – Tích phân và Ứng dụng.

Bạn đang xem: Tính thể tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁP. GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp thiết bị thị.+ Chia diện tích S hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng giới hạn vị hai thiết bị thị.Cách 2:+ Vẽ những đồ thị trên và một hệ trục tọa độ.+ Từ trang bị thị phân tách diện tích S hình phẳng thành tổng của những diện tích S hình phẳng giới hạn do hai đồ dùng thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAví dụ như 1: Điện thoại tư vấn $S$ là diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng thiết bị thị tía hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch chéo cánh trong mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào dưới đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ vật dụng thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn lời giải C.

Ví dụ 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì những con đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 – x^2 + 3x – x – 1 ight $ $ + int_frac32^2 left $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi vì các con đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 2x^2 – fracx^24 ight $ $ + int_3^6 left $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| left. frac7x^312 ight ight| + left| left. left( 54ln x – fracx^312 ight) ight ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn vày những con đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (vị $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng vươn lên là trên $R$ cùng $x=0$ là 1 nghiệm của phương thơm trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 left $ $ + int_0^ln 3 3 – e^x ight .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn lời giải C.

Ví dụ 5: Diện tích hình phẳng giới hạn vì những đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| _0^1 ight|$ $ + left| _1^2 ight|$ $ = frac43.$Chọn đáp án A.

Xem thêm: Sau Khi Nhổ Răng Nên Ăn Gì Tốt Nhất? Mới Nhổ Răng Nên Ăn Gì Và Kiêng Ăn Gì

ví dụ như 6: Diện tích hình phẳng giới hạn vày parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ và những tiếp tuyến của $(P)$ trên các giao điểm của $(P)$ với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết các tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương thơm trình tiếp tuyến là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương thơm trình tiếp đường là: $y = 3x – 6.$Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 x^2 – x – 2 – ( – 3x – 3) ight $ $ + int_frac12^2 left .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 7: Hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng vật dụng thị hàm số $y = 3x – x^2$ cùng $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ bao gồm diện tích là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 8: call $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vị những con đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ cùng trục $Ox.$ Khẳng định nào sau đấy là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn đáp án C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vày nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, đường trực tiếp $y = 3 – 2x$ cùng trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ cùng trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì các đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ và $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: hotline $S$ là diện tích S hình phẳng giới hạn vị thứ thị các hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ Khẳng định nào sau đó là đúng?A. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 left .$B. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 left .$C. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 dx .$D. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 left .$

Câu 5: Cho diện tích S hình phẳng giới hạn vày nhị nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ cùng đường thẳng $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁP.. ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 left $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn đáp án D.

Câu 2: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn câu trả lời C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 left $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn câu trả lời A.

Câu 4: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 left .$Chọn lời giải A.

Xem thêm: ‎Analog Seoul On The App Analog Là Gì, App Analog Là Gì, App Analog Là Gì

Câu 5: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 dx $ $ + int_1^2 left = frac83.$Chọn lời giải A.