đơn vị diện tích

By Admin 23/08/2023 0

Three shapes on a square grid
Tổng diện tích S của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông vắn đơn vị

Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai phía hoặc lamina phẳng lì, vô mặt mũi phẳng lì. Diện tích mặt phẳng là tương tự động của diện tích S bên trên mặt phẳng hai phía của một vật thể thân phụ chiều. Diện tích rất có thể được hiểu là lượng vật tư có tính dày chắc chắn tiếp tục quan trọng sẽ tạo loại mang đến quy mô hình dạng hoặc lượng tô quan trọng nhằm phủ lên mặt phẳng bởi vì một tờ tô.[1] Nó là tương tự động về mặt mũi hai phía so với chiều nhiều năm của lối cong (khái niệm một chiều) hoặc thể tích của vật rắn (khái niệm thân phụ chiều).

Bạn đang xem: đơn vị diện tích

Diện tích của hình rất có thể được đo bằng phương pháp đối chiếu hình với những hình vuông vắn đem độ cao thấp cố định và thắt chặt.[2] Trong Hệ thống đơn vị chức năng quốc tế (SI), đơn vị diện tích chi tiêu chuẩn chỉnh là mét vuông (viết là m²), là diện tích S của một hình vuông vắn đem cạnh nhiều năm một mét.[3] Một hình đem diện tích S thân phụ mét vuông sẽ sở hữu được nằm trong diện tích S với thân phụ hình vuông vắn như thế. Trong toán học tập, hình vuông vắn đơn vị chức năng được xác lập là đem diện tích S bởi vì một và diện tích S của ngẫu nhiên hình dạng hoặc mặt phẳng nào là không giống là một số trong những thực ko loại nguyên vẹn.

Có một số trong những công thức phổ biến cho những diện tích S đem hình dạng giản dị và đơn giản như hình tam giác, hình chữ nhật và hình tròn trụ. Sử dụng những công thức này, diện tích S của ngẫu nhiên nhiều giác nào là đều rất có thể được xem toán bằng phương pháp phân chia nhiều giác trở thành những hình tam giác.[4] Đối với những hình đem ranh giới cong, tích phân thông thường được dùng để làm tính diện tích S. Thật vậy, yếu tố xác lập diện tích S những hình phẳng lì là 1 động lực chủ yếu cho việc cải cách và phát triển lịch sử dân tộc của tích phân.[5]

Đối với cùng 1 hình dạng rắn như hình cầu, hình nón hoặc hình trụ, diện tích S mặt phẳng ranh giới của chính nó được gọi là diện tích S mặt phẳng.[1][6][7] Các công thức cho những diện tích S mặt phẳng của những hình dạng giản dị và đơn giản đã và đang được người Hy Lạp cổ kính đo lường và tính toán, tuy nhiên đo lường và tính toán diện tích S mặt phẳng của một hình dạng phức tạp rộng lớn thông thường yên cầu tích phân nhiều đổi mới.

Diện tích đóng góp một tầm quan trọng cần thiết vô toán học tập tiến bộ. Ngoài vai trò rõ rệt của chính nó vô hình học tập và đo lường và tính toán, diện tích S đem tương quan cho tới khái niệm những nhân tố đưa ra quyết định vô đại số tuyến tính, và là 1 đặc thù cơ phiên bản của những mặt phẳng vô hình học tập vi phân. Trong phân tách, diện tích S của một tụ hội con cái của mặt mũi phẳng lì được xác lập bằng phương pháp dùng thước đo Lebesgue,[8] tuy vậy ko cần từng tụ hội con cái đều rất có thể đo được.[9] Nói công cộng, diện tích S vô toán học tập cấp cho cao hơn nữa được xem như là một tình huống đặc biệt quan trọng về thể tích cho những vùng đem hai phía.[1]

Diện tích rất có thể được xác lập trải qua việc dùng những định đề, xác lập nó là 1 hàm của một tụ hội những hình mặt mũi phẳng lì chắc chắn chiếu cho tới tụ hội những số thực. Nó rất có thể được chứng tỏ rằng một hàm như thế là tồn bên trên.

Định nghĩa hình thức[sửa | sửa mã nguồn]

Một cơ hội tiếp cận nhằm xác lập chân thành và ý nghĩa của "diện tích" là trải qua những định đề. "Diện tích" rất có thể được khái niệm là 1 hàm a kể từ tụ hội M bao gồm những hình phẳng lì đặc biệt quan trọng (gọi là tụ hội rất có thể đo được) cho tới tập dượt những số thực, vừa lòng những đặc thù sau:

  • Với từng S nằm trong M thì a (S) ≥ 0.
  • Nếu S và T ở trong M thì S ∪ T và S ∩ T, và a (S ∪ T) = a (S) + a (T) - a (S ∩ T).
  • Nếu S và T ở trong M với S ⊆ T thì T - S nằm trong M và a (T - S) = a (T) - a (S).
  • Nếu một tụ hội S nằm trong M và S tương đồng với T thì T cũng nằm trong M và a (S) = a (T.
  • Mọi hình chữ nhật R đều ở trong M. Nếu hình chữ nhật đem chiều nhiều năm h và chiều rộng lớn k thì a (R) = hk.
  • Gọi Q là 1 tụ hội nằm trong lòng nhì vùng bước S và T. Vùng bước được tạo hình kể từ sự phối kết hợp hữu hạn của những hình chữ nhật ngay tắp lự kề phía trên một hạ tầng công cộng, tức là S ⊆ Q ⊆ T. Nếu tồn bên trên một số trong những có một không hai c sao mang đến a (S) ≤ c ≤ a (T) so với toàn bộ những vùng bước S và T như thế, thì a (Q) = c.

Có thể chứng tỏ rằng một hàm diện tích S như thế thực sự tồn bên trên.[10]

Đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

A square made of PVC pipe on grass
Một mét vuông dù chi tiêu chuẩn chỉnh thực hiện bởi vì ống PVC.

Mọi đơn vị chức năng phỏng nhiều năm đều sở hữu một đơn vị diện tích ứng là diện tích S hình vuông vắn có tính nhiều năm cạnh bởi vì đơn vị chức năng phỏng nhiều năm vẫn mang đến. Do ê diện tích S rất có thể được đo bởi vì mét vuông (m2), vuông centimet (cm2), milimét vuông (mm2), kilômét vuông (km²),feet vuông (ft 2), yard vuông (yd 2), dặm vuông (mi2), v.v.[11] Về mặt mũi đại số, những đơn vị chức năng này rất có thể được xem như là bình phương của những đơn vị chức năng phỏng nhiều năm ứng.

Đơn vị diện tích S SI là mét vuông, được xem như là một đơn vị chức năng dẫn xuất SI.[3]

Chuyển đổi[sửa | sửa mã nguồn]

A diagram showing the conversion factor between different areas
Mặc dù cho có 10 milimet trong một centimet, đem 100 mm² trong một cm².

Tính diện tích S của một hình vuông vắn đem chiều nhiều năm và chiều rộng lớn là một mét tiếp tục là:

1 mét × 1 mét = 1 m²

và bởi vậy, một hình chữ nhật đem những cạnh không giống nhau (giả sử chiều nhiều năm 3m và chiều rộng lớn 2 mét) sẽ sở hữu được diện tích S tính bởi vì đơn vị chức năng hình vuông vắn rất có thể được xem như sau:

3 mét × 2 mét = 6 m². Như vậy tương tự với 6 triệu milimet vuông. Các quy đổi hữu ích không giống là:

  • 1 km vuông = một triệu mét vuông
  • 1 mét vuông = 10.000 centimet vuông = 1.000.000 mm vuông
  • 1 cm vuông = 100 milimet vuông.

Đơn vị ko cần hệ mét[sửa | sửa mã nguồn]

Trong đơn vị chức năng ko nằm trong hệ mét, việc quy đổi thân thích nhì đơn vị chức năng vuông là bình phương của việc quy đổi trong số những đơn vị chức năng chiều nhiều năm ứng.

1 foot = 12 inch,

mối mối liên hệ thân thích feet vuông và inch vuông là

1 foot vuông = 144 inch vuông,

trong ê 144 = 122 = 12 × 12. Tương tự:

  • 1 yard vuông = 9 feet vuông
  • 1 dặm vuông = 3.097.600 yard vuông = 27.878.400 feet vuông

Ngoài đi ra, những nhân tố quy đổi bao gồm:

  • 1 inch vuông = 6.4516 cm vuông
  • 1 foot vuông = 0.09290304 mét vuông
  • 1 yard vuông = 0.83612736 mét vuông
  • 1 dặm vuông = 2.589988110336 km vuông

Các đơn vị chức năng không giống bao hàm những đơn vị chức năng mang ý nghĩa lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Có một số trong những đơn vị chức năng thịnh hành không giống mang đến diện tích S. A là đơn vị diện tích lúc đầu vô hệ mét, với:

  • 1 a = 100 mét vuông

Mặc cho dù vẫn không thể dùng, hecta vẫn thông thường được dùng nhằm đo đất:[12]

  • 1 hecta = 100 a = 10.000 mét vuông = 0,01 ki lô mét vuông

Mẫu Anh cũng thông thường được dùng nhằm đo diện tích S đất

  • 1 kiểu Anh = 4,840 yard vuông = 43,560 feet vuông.

Một kiểu Anh là khoảng tầm 40% của một hecta.

Trên quy tế bào nguyên vẹn tử, diện tích S được đo bởi vì đơn vị chức năng barn:[13]

  • 1 barn = 10 −28 mét vuông.

Barn được dùng thịnh hành trong các công việc tế bào mô tả vùng tương tác mặt phẳng cắt ngang vô cơ vật lý phân tử nhân.[14]

Ở nén Độ,

  • 20 dhurki = 1 dhur
  • 20 dhur = 1 khatha
  • 20 khata = 1 bigha
  • 32 khata = 1 kiểu Anh

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Diện tích hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Vào thế kỷ loại 5 trước Công nguyên vẹn, Hippocrates xứ Chios là kẻ thứ nhất cho rằng diện tích S của một chiếc đĩa (vùng được xung quanh bởi vì một vòng tròn) tỷ trọng với bình phương 2 lần bán kính của chính nó, như 1 phần của việc cầu phương của ông,[15] tuy nhiên ko xác lập được hằng số tỷ trọng. Eudoxus của Cnidus, cũng vô thế kỷ loại 5 trước Công nguyên vẹn, cũng vạc sinh ra rằng diện tích S của một chiếc đĩa tròn xoe tỷ trọng thuận với bình phương nửa đường kính của chính nó.[16]

Sau ê, Quyển I của Cơ sở của Euclid nhắc tới sự đều bằng nhau về diện tích S trong số những hình hai phía. Nhà toán học tập Archimedes dùng những khí cụ của Euclid nhằm chứng tỏ rằng diện tích S phía bên trong một vòng tròn xoe là tương tự với của một tam giác vuông đem lòng là chiều nhiều năm của chu vi của vòng tròn xoe và đem độ cao tương tự với nửa đường kính của vòng tròn xoe, vô cuốn sách của ông Đo một hình tròn. (Chu vi là 2 πr, và diện tích S của một tam giác bởi vì 50% lòng nhân với độ cao, đưa đến diện tích S πr 2 mang đến hình tròn trụ.) Archimedes vẫn tính ngay sát giá chuẩn trị của π (và bởi vậy là diện tích S của một hình tròn trụ nửa đường kính đơn vị) bởi vì cách thức nhân song của tôi, vô ê ông nội tiếp một tam giác đều vô một vòng tròn xoe và ghi nhận diện tích S của chính nó, tiếp sau đó nhân song số cạnh sẽ tạo đi ra một hình lục giác đều., tiếp sau đó liên tiếp nhân song số cạnh Lúc diện tích S của nhiều giác càng ngày càng ngay sát với diện tích S của hình tròn trụ (và tiến hành tương tự động với tương đối nhiều giác nước ngoài tiếp).

Nhà khoa học tập người Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert năm 1761 vẫn chứng tỏ rằng π, tỷ số thân thích diện tích S hình tròn trụ với nửa đường kính bình phương của chính nó, là số vô tỉ, tức thị nó ko bởi vì thương số của nhì số nguyên vẹn ngẫu nhiên.[17] Năm 1794, ngôi nhà toán học tập người Pháp Adrien-Marie Legendre vẫn chứng tỏ rằng π2 là vô tỉ; điều này cũng minh chứng rằng π là vô tỉ.[18] Năm 1882, ngôi nhà toán học tập người Đức Ferdinand von Lindemann vẫn chứng tỏ rằng π là số siêu việt (không cần là nghiệm của ngẫu nhiên phương trình nhiều thức nào là với thông số hữu tỉ), chứng tỏ này xác nhận một phỏng đoán của tất cả Legendre và Euler.[17] :p. 196

Diện tích tam giác[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: phát biểu trao dâu của họ nhà gái

Heron (hay Hero) của Alexandria vẫn thăm dò đi ra cái được gọi là công thức Heron mang đến diện tích S tam giác tính theo đòi những cạnh của chính nó, và một phép tắc chứng tỏ đem vô cuốn sách của ông, Metrica, được viết lách vào tầm năm 60 công nhân. Có chủ kiến nhận định rằng Archimedes vẫn biết công thức rộng lớn nhì thế kỷ trước ê,[19] và vì như thế Metrica là tụ hội những kiến thức và kỹ năng toán học tập đã có sẵn trước vô toàn cầu cổ kính, nên rất có thể công thức đem trước tham ô chiếu được thể hiện vô công trình xây dựng ê.[20]

Năm 499, Aryabhata, một ngôi nhà toán học tập - thiên văn học tập vĩ đại của thời đại truyền thống của toán học tập nén Độ và thiên văn học tập nén Độ, vẫn biểu thị diện tích S của một tam giác bởi vì 50% lòng nhân với độ cao vô Aryabhatiya (phần 2.6).

Một công thức tương tự với Heron đã và đang được người Trung Quốc thăm dò đi ra song lập với những người Hy Lạp. Nó được xuất phiên bản vô năm 1247 vô Shushu Jiuzhang ("Cửu chương toán thuật"), kiệt tác của Qin Jiushao.

Diện tích tứ giác[sửa | sửa mã nguồn]

Trong thế kỷ loại 7, Brahmagupta vẫn cải cách và phát triển một công thức, lúc này được gọi là công thức Brahmagupta, mang đến diện tích S của một tứ giác nội tiếp (một tứ giác đem những đỉnh phía trên một vòng tròn) theo đòi những cạnh của chính nó. Năm 1842, những ngôi nhà toán học tập người Đức Carl Anton Bretschneider và Karl Georg Christian von Staudt vẫn song lập cùng nhau, nằm trong thăm dò đi ra một công thức, được gọi là công thức Bretschneider, mang đến diện tích S của ngẫu nhiên hình tứ giác nào là.

Diện tích nhiều giác[sửa | sửa mã nguồn]

Sự cải cách và phát triển của tọa phỏng Descartes bởi René Descartes thiết kế vô thế kỷ 17 được cho phép cải cách và phát triển công thức mang đến diện tích S của ngẫu nhiên nhiều giác nào là toạ lạc đỉnh vẫn biết của Gauss vô thế kỷ 19.

Diện tích được xác lập bởi vì phép tắc tính tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Sự cải cách và phát triển của phép tắc tính tích phân vô vào cuối thế kỷ 17 vẫn hỗ trợ những khí cụ tiếp sau đó rất có thể được dùng nhằm đo lường và tính toán những diện tích S phức tạp rộng lớn, ví dụ như diện tích S hình elip và diện tích S mặt phẳng của những vật thể thân phụ chiều cong không giống nhau.

Công thức diện tích[sửa | sửa mã nguồn]

Đa giác[sửa | sửa mã nguồn]

Đối với cùng 1 nhiều giác ko tự động tách (đa giác đơn), tọa phỏng Descartes (i = 0, 1,..., n -1) của n đỉnh vẫn biết, diện tích S được mang đến bởi vì công thức của những người đóng góp móng:[21]

trong ê Lúc i = n -1, thì i +1 được biểu thị bên dưới dạng môđun n và bởi vậy quy về 0.

Hình chữ nhật[sửa | sửa mã nguồn]

A rectangle with length and width labelled
Diện tích của hình chữ nhật này là lw.

Công thức diện tích S cơ phiên bản nhất là công thức diện tích S hình chữ nhật. Cho một hình chữ nhật đem chiều nhiều năm l và chiều rộng lớn w, công thức của diện tích S là:[2][22]

A = lw.

Nghĩa là, diện tích S của hình chữ nhật bởi vì chiều nhiều năm nhân với chiều rộng lớn. Trong tình huống đặc biệt quan trọng, vì như thế l = w vô tình huống hình vuông vắn, diện tích S của hình vuông vắn có tính nhiều năm cạnh s được mang đến bởi vì công thức:[1][2][23]

A = s2

Công thức mang đến diện tích S hình chữ nhật thẳng dựa vào những đặc thù cơ phiên bản của diện tích S, và đôi lúc được xem như là một khái niệm hoặc định đề. Mặt không giống, nếu như hình học tập được cải cách và phát triển trước số học tập, công thức này rất có thể được dùng nhằm khái niệm phép tắc nhân những số thực.

Phương pháp tách hình, hình bình hành và hình tam giác[sửa | sửa mã nguồn]

Hầu không còn những công thức giản dị và đơn giản không giống mang đến diện tích S đều tuân theo đòi cách thức tách hình. Như vậy bao hàm việc tách một tạo hình từng hình nhỏ, và việc tính diện tích S hình này sẽ là sự sử dụng phép tắc với những diện tích S những hình con cái.

Sơ thiết bị đã cho thấy cơ hội một hình bình hành rất có thể được bố trí lại trở thành hình chữ nhật.

Ví dụ, ngẫu nhiên hình bình hành nào thì cũng rất có thể được phân chia nhỏ trở thành hình thang và tam giác vuông, như thể hiện tại vô hình phía trái. Nếu tam giác được dịch rời thanh lịch phía mặt mũi ê của hình thang, thì hình chiếm được là 1 hình chữ nhật. Theo ê diện tích S của hình bình hành bởi vì diện tích S của hình chữ nhật đó:[2]

A = bh  (hình bình hành).

Một hình bình hành phân thành nhì tam giác đều bằng nhau.

Tuy nhiên, và một hình bình hành cũng rất có thể được thuyên giảm một lối chéo cánh trở thành nhì tam giác tương đẳng, như vô hình ở bên phải. Như vậy diện tích S của từng tam giác bởi vì 50% diện tích S của hình bình hành:[2]

 (Tam giác).

Các phép tắc chứng tỏ tương tự động rất có thể được dùng nhằm thăm dò công thức diện tích S mang đến hình thang [24] cũng giống như các nhiều giác phức tạp rộng lớn.[25]

Diện tích những hình cong[sửa | sửa mã nguồn]

Hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to lớn size a parallelogram
Một hình tròn trụ rất có thể được phân thành những hình quạt tuy nhiên bố trí lại sẽ tạo trở thành một xấp xỉ hình bình hành.

Công thức tính diện tích S hình tròn trụ (được gọi chính xác là diện tích S được bao bởi vì hình tròn trụ hoặc diện tích S đĩa) dựa vào một cách thức tương tự động. Cho một vòng tròn xoe nửa đường kính r nó rất có thể phân vùng những vòng tròn xoe vô những nghành, như thể hiện tại vô hình ở bên phải. Mỗi cung đem hình dáng tam giác sấp xỉ và những cung rất có thể được bố trí lại sẽ tạo trở thành một hình bình hành sấp xỉ. Chiều cao của hình bình hành này là r, và chiều rộng lớn bởi vì nửa chu vi của hình tròn trụ, hoặc πr. Như vậy, tổng diện tích S của hình tròn trụ là πr2:[2]

A = πr2  (hình tròn).

Mặc cho dù việc phân tích hình tròn trụ được dùng vô công thức này đơn giản sấp xỉ, tuy nhiên sai số càng ngày càng nhỏ rộng lớn Lúc vòng tròn xoe được phân phân thành ngày thêm thắt cung. Giới hạn diện tích S của những hình bình hành ngay sát thực sự πr2, là diện tích S của hình tròn trụ.[26]

Lập luận này thực sự là 1 phần mềm giản dị và đơn giản của những phát minh của phép tắc tính vi tích phân. Trong thời cổ kính, cách thức hết sạch được dùng một cơ hội tương tự động nhằm thăm dò diện tích S hình tròn trụ, và cách thức này thời nay được thừa nhận là chi phí thân thích của phép tắc tính tích phân. Sử dụng những cách thức tiến bộ, diện tích S hình tròn trụ rất có thể được xem bằng phương pháp dùng một tích phân xác định:

Hình elip[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức mang đến diện tích S được bao bởi vì một hình elip đem tương quan cho tới công thức của một hình tròn; so với một hình elip với những buôn bán trục chủ yếu và buôn bán trục phụ x và y, với công thức là:[2]

Diện tích bề mặt[sửa | sửa mã nguồn]

A xanh rờn sphere inside a cylinder of the same height and radius
Archimedes vẫn cho rằng diện tích S mặt phẳng của một hình cầu bởi vì tứ phiên diện tích S của một đĩa phẳng lì đem nằm trong nửa đường kính, và thể tích của hình cầu bởi vì 2/3 thể tích của một hình trụ đem nằm trong độ cao và nửa đường kính.

Hầu không còn những công thức cơ phiên bản mang đến diện tích S mặt phẳng rất có thể chiếm được bằng phương pháp tách những mặt phẳng và thực hiện phẳng lì bọn chúng. Ví dụ, nếu như mặt phẳng mặt mũi của một hình trụ (hoặc ngẫu nhiên hình lăng trụ nào) được thuyên giảm theo hướng dọc, mặt phẳng ê rất có thể được sản xuất phẳng lì trở thành hình chữ nhật. Tương tự động, nếu như một vết tách được tiến hành dọc từ mặt mũi mặt của hình nón, mặt phẳng mặt mũi rất có thể được sản xuất phẳng lì trở thành 1 phần của hình tròn trụ và diện tích S sản phẩm rất có thể được xem đi ra.

Công thức mang đến diện tích S mặt phẳng của một hình cầu khó khăn thăm dò hơn: cũng chính vì một hình cầu có tính cong Gauss không giống 0, nó ko thể bị cán dẹt đi ra. Công thức về diện tích S mặt phẳng của một hình cầu phiên thứ nhất được Archimedes chiếm được vô kiệt tác Về hình cầu và hình trụ. Công thức là:[6]

Xem thêm: tù binh của ông trùm mafia

  • A = 4πr2  (hình cầu), với r là nửa đường kính của hình cầu. Cũng tương tự như công thức về diện tích S hình tròn trụ, ngẫu nhiên suy đoán nào là của công thức này đều dùng những cách thức tương tự động như tích phân.

Công thức chung[sửa | sửa mã nguồn]

Diện tích của những hình 2 chiều[sửa | sửa mã nguồn]

Diện tích tam giác

Diện tích vô giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

A diagram showing the area between a given curve and the x-axis
Tích phân rất có thể được xem như là đo diện tích S bên dưới một lối cong, được xác lập bởi vì f (x), thân thích nhì điểm (ở phía trên là a và b).
A diagram showing the area between two functions
Diện tích thân thích nhì thiết bị thị rất có thể được Review bằng phương pháp tính hiệu thân thích tích phân của nhì hàm

Các công thức thông dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức diện tích S hoặc dùng:
Hình Công thức Biến số Cách đọc
Hình chữ nhật : Chiều nhiều năm, : Chiều rộng lớn. Diện tích bởi vì tích chiều nhiều năm 2 cạnh.
Hình vuông : Chiều nhiều năm cạnh hình vuông vắn. Diện tích bởi vì bình phương chiều nhiều năm 1 cạnh.
Hình bình hành : Chiều nhiều năm 1 cạnh, : độ cao ứng với a. Diện tích bởi vì 1 cạnh nhân với độ cao ứng với cạnh ê.
Hình thoi : Chiều nhiều năm 2 lối chéo cánh. Diện tích bởi vì 1 nửa tích phỏng nhiều năm 2 lối chéo cánh.
Tam giác : cạnh lòng, : độ cao. Diện tích bởi vì 1 nửa tích chiều nhiều năm 1 cạnh với lối cao ứng với nó.
Hình tròn : nửa đường kính. Diện tích ngay số pi nhân với bình phương buôn bán kính
Hình e-líp và phỏng nhiều năm nửa trục thực và nửa trục ảo.
Mặt cầu , hoặc : nửa đường kính, : 2 lần bán kính hình cầu. Diện tích ngay số Pi nhân với bình phương chiều nhiều năm 2 lần bán kính.
Hình thang và : những cạnh lòng, : độ cao. Diện tích bởi vì tầm nằm trong 2 lòng nhân với độ cao.
Hình trụ tròn : nửa đường kính, : độ cao.
Diện tích xung xung quanh của hình trụ : nửa đường kính, : chiều cao
Mặt nón : nửa đường kính, phỏng nhiều năm lối sinh (slant height).
Diện tích xung xung quanh của hình nón : nửa đường kính, phỏng nhiều năm lối sinh (slant height).
Hình quạt : nửa đường kính, số đo góc ở tâm,l là phỏng nhiều năm cung.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Độ dài
  • Thể tích

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c d e f Weisstein, Eric W. “Area”. Wolfram MathWorld. Bản gốc tàng trữ ngày 5 mon 5 năm 2012. Truy cập ngày 3 mon 7 năm 2012.
  2. ^ a b c d e f g h i “Area Formulas”. Math.com. Bản gốc tàng trữ ngày 2 mon 7 năm 2012. Truy cập ngày 2 mon 7 năm 2012.
  3. ^ a b “Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)”. Bureau International des Poids et Mesures. Bản gốc tàng trữ ngày 28 mon 7 năm 2012. Truy cập ngày 15 mon 7 năm 2012.
  4. ^ Mark de Berg; Marc cầu xin Kreveld; Mark Overmars; Otfried Schwarzkopf (2000). “Chapter 3: Polygon Triangulation”. Computational Geometry (ấn phiên bản 2). Springer-Verlag. tr. 45–61. ISBN 978-3-540-65620-3.
  5. ^ Boyer, Carl B. (1959). A History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover. ISBN 978-0-486-60509-8.
  6. ^ a b Weisstein, Eric W. “Surface Area”. Wolfram MathWorld. Bản gốc tàng trữ ngày 23 mon 6 năm 2012. Truy cập ngày 3 mon 7 năm 2012.
  7. ^ Foundation, CK-12. “Surface Area”. CK-12 Foundation (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 9 mon 10 năm 2018.
  8. ^ Walter Rudin (1966). Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-100276-6.
  9. ^ Gerald Folland (1999). Real Analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., p. trăng tròn, ISBN 0-471-31716-0
  10. ^ Moise, Edwin (1963). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison-Wesley Pub. Co. Truy cập ngày 15 mon 7 năm 2012.
  11. ^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
  12. ^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
  13. ^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
  14. ^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
  15. ^ , ISBN 978-0-486-43231-1
  16. ^ Stewart, James (2003). Single variable calculus early transcendentals (ấn phiên bản 5). Toronto ON: Brook/Cole. tr. 3. ISBN 978-0-534-39330-4. However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to lớn prove the familiar formula for the area of a circle:
  17. ^ a b Arndt, Jörg; Haene l, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Truy cập ngày 5 mon 6 năm 2013. English translation by Catriona and David Lischka.
  18. ^ , ISBN 978-0-03-029558-4
  19. ^ Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics (Vol II). Oxford University Press. tr. 321–323.
  20. ^ Weisstein, Eric W., "Diện tích" kể từ MathWorld.
  21. ^ Bourke, Paul (tháng 7 năm 1988). “Calculating The Area And Centroid Of A Polygon” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 16 mon 9 năm 2012. Truy cập ngày 6 mon hai năm 2013.
  22. ^ “Area of Parallelogram/Rectangle”. ProofWiki.org. Bản gốc tàng trữ ngày trăng tròn mon 6 năm 2015. Truy cập ngày 29 mon 5 năm 2016.
  23. ^ “Area of Square”. ProofWiki.org. Bản gốc tàng trữ ngày 4 mon 11 năm 2017. Truy cập ngày 29 mon 5 năm 2016.
  24. ^ Problem Solving Through Recreational Mathematics, 2012, ISBN 978-0-486-13174-0
  25. ^ Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach, 2002, ISBN 978-0-8493-1319-6
  26. ^ Braden, Bart (tháng 9 năm 1986). “The Surveyor's Area Formula” (PDF). The College Mathematics Journal. 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282. JSTOR 2686282. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 27 mon 6 năm 2012. Truy cập ngày 15 mon 7 năm 2012.
  27. ^ Trainin, J. (tháng 11 năm 2007). “An elementary proof of Pick's theorem”. Mathematical Gazette. 91 (522): 536–540.